Introduction au calcul numérique
Le calcul numérique est une branche des mathématiques qui concerne les méthodes et les techniques utilisées pour effectuer des calculs sur des nombres. Il s'agit notamment de la résolution numérique d'équations, de l'approximation de fonctions et de l'analyse des erreurs.
Méthodes de résolution numérique d'équations
L'une des tâches les plus courantes en calcul numérique est la résolution numérique d'équations. Il existe plusieurs méthodes pour résoudre des équations, dont certaines sont basées sur des itérations et d'autres sur des méthodes de recherche.
Définition
Méthode de la dichotomie
La méthode de la dichotomie est une méthode basée sur le principe du tableau de signes. Elle consiste à diviser continuellement l'intervalle de recherche en deux parties égales pour isoler la solution. Cette méthode est simple à utiliser mais nécessite un grand nombre d'itérations.
Méthode de Newton-Raphson
La méthode de Newton-Raphson est une méthode itérative basée sur une estimation initiale de la solution. Elle consiste à utiliser la tangente à la courbe de la fonction pour trouver successivement de meilleures approximations de la solution. Cette méthode converge généralement plus rapidement que la méthode de la dichotomie.
Approximation de fonctions
Une autre application du calcul numérique est l'approximation de fonctions. Il s'agit de trouver une fonction qui se rapproche le plus possible d'une fonction donnée, souvent dans le but de simplifier les calculs ou d'obtenir une représentation plus concise.
Définition
Méthode des moindres carrés
La méthode des moindres carrés est une méthode couramment utilisée pour l'approximation de fonctions. Elle consiste à trouver les coefficients d'une fonction polynomiale qui minimise la somme des carrés des écarts entre les observations réelles et les valeurs prédites par le polynôme.
Analyse des erreurs
En calcul numérique, il est important de prendre en compte les erreurs qui peuvent se produire lors des calculs. Les erreurs peuvent être dues à des approximations, des arrondis ou des limitations informatiques. L'analyse des erreurs permet d'évaluer et de contrôler la précision des résultats obtenus.
Définition
Erreur absolue
L'erreur absolue mesure l'écart entre la valeur exacte d'une quantité et la valeur approximative obtenue par un calcul numérique. Elle est généralement exprimée en valeur absolue.
Erreur relative
L'erreur relative est le rapport de l'erreur absolue à la valeur exacte de la quantité. Elle permet de mesurer l'approximation relative obtenue par un calcul numérique.
A retenir :
En conclusion, le calcul numérique est une discipline essentielle pour résoudre numériquement des équations, approximer des fonctions et analyser les erreurs inhérentes aux calculs. Il utilise différentes méthodes et techniques pour obtenir des résultats précis.
