Définition
Dérivée d'une fonction
La dérivée d'une fonction f en un point a, notée f'(a), est la limite du taux de variation de la fonction en ce point lorsque l'intervalle de variation tend vers zéro.
Taux de variation
Le taux de variation d'une fonction f entre deux points x et x+h est donné par (f(x+h)-f(x))/h.
Continuité
Une fonction est continue en un point a si elle reste proche de sa valeur en ce point, lorsque l'on s'approche de a.
La notion de dérivée
La dérivée d'une fonction est un concept fondamental en mathématiques, en particulier en analyse. Elle fournit une mesure du taux de changement d'une fonction par rapport à l'une de ses variables. Concrètement, la dérivée d'une fonction en un point indique à quelle vitesse la valeur de la fonction change en ce point. Si l'on trace le graphe de la fonction, la dérivée en un point correspond à la pente de la tangente à ce point.
En termes plus techniques, si y = f(x) est une fonction, alors sa dérivée f'(x) à un point x est définie par la limite lorsque h tend vers zéro de [f(x + h) - f(x)] / h, pour autant que cette limite existe.
Comment calculer une dérivée
Pour calculer la dérivée d'une fonction, plusieurs méthodes existent. La plus directe consiste à appliquer la définition limite de la dérivée. Cependant, dans la pratique, on utilise plutôt des règles de dérivation que l'on applique aux fonctions usuelles.
Les principales règles de dérivation comprennent :
- La règle de la dérivée d'une constante : si f(x) = c, alors f'(x) = 0.
- La règle de dérivation de puissance : si f(x) = x^n, alors f'(x) = nx^(n-1).
- La règle de dérivation d'une somme : si f(x) = u(x) + v(x), alors f'(x) = u'(x) + v'(x).
- La règle du produit : si f(x) = u(x) * v(x), alors f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).
- La règle du quotient : si f(x) = u(x) / v(x), alors f'(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v(x)^2, à condition que v(x) ≠ 0.
Applications de la dérivée
La dérivée permet de résoudre divers problèmes en mathématiques et physique appliquée. Quelques exemples incluent :
1. Détermination des tangentes : connaître la dérivée d'une fonction permet de calculer l'équation de la tangente à la courbe en un point donné.
2. Optimisation : en identifiant les points où la dérivée est nulle, on peut déterminer les maximums et minimums locaux d'une fonction, ce qui est crucial pour les problèmes d'optimisation.
3. Étude des variations d'une fonction : la dérivée permet d'analyser les intervalles sur lesquels une fonction est croissante ou décroissante.
A retenir :
La dérivée est un outil mathématique clé définissant le taux de variation instantané d'une fonction. Elle est centrale dans l'analyse pour comprendre comment une fonction change localement et posséder des utilités pratiques dans des domaines comme l'optimisation et la physique. Le calcul des dérivées repose sur des règles simples, applicables aux fonctions usuelles, facilitant l'analyse des fonctions complexes.
