Définitions de base
Définition
Développer
L'opération de développer consiste à transformer un produit de facteurs en une somme ou une différence. Cela implique souvent l'utilisation de la distributivité pour supprimer les parenthèses.
Factoriser
Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme d'un produit de facteurs. Cette opération est l'inverse de développer et peut impliquer la recherche de diviseurs communs à toutes les parties de l'expression.
Identité remarquable
Une identité remarquable est une formule algébrique qui facilite la factorisation ou le développement des expressions, telles que (a+b)² = a² + 2ab + b².
Développer une expression
Pour développer une expression algébrique, il est souvent nécessaire d'appliquer la propriété de distributivité : a(b+c) = ab + ac. Cela signifie que nous multiplions chaque terme à l'intérieur de la parenthèse par le terme à l'extérieur. Par exemple, pour développer 2(x + 3), nous multiplions 2 par x et 2 par 3, ce qui donne 2x + 6.
Factoriser une expression
Factoriser une expression consiste à la réécrire comme un produit de facteurs. Cela peut être fait en recherchant des facteurs communs parmi les termes ou en appliquant des identités remarquables. Par exemple, pour factoriser l'expression 2x + 6, nous notons que 2 est un facteur commun, ce qui nous permet d'écrire 2(x + 3).
Exercices pratiques
Voici quelques exercices pour appliquer les notions de développement et de factorisation :
Exercice 1: Développer l'expression (x + 4)(x - 2)
Exercice 2: Factoriser l'expression x² + 5x + 6
Exercice 3: Développer l'expression 3(a + b + c)
Exercice 4: Factoriser l'expression 9x² - 6x
Exercice 5: Utiliser une identité remarquable pour développer (a + b)²
Exercice 6: Utiliser une identité remarquable pour factoriser a² - b²
Solutions des exercices
Solutions des exercices :
Solution de l'exercice 1: (x + 4)(x - 2) = x² - 2x + 4x - 8 = x² + 2x - 8
Solution de l'exercice 2: x² + 5x + 6 peut être factorisé en (x + 2)(x + 3)
Solution de l'exercice 3: 3(a + b + c) = 3a + 3b + 3c
Solution de l'exercice 4: 9x² - 6x peut être factorisé en 3x(3x - 2)
Solution de l'exercice 5: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Solution de l'exercice 6: a² - b² peut être factorisé en (a + b)(a - b)
Résumé des notions importantes
A retenir :
Dans ce cours, nous avons exploré les concepts de développement et de factorisation des expressions algébriques. Développer consiste à transformer des produits en sommes, en utilisant la distributivité, tandis que factoriser est l'inverse, exprimant une somme sous forme de produit en cherchant des facteurs communs ou en utilisant des identités remarquables. Les exercices pratiques mettent en évidence l'application de ces processus, renforçant l'importance des expressions et des identités remarquables dans le travail quotidien avec les polynômes.
