Définition
Équation du second degré
Une équation du second degré est une équation polynomial de la forme ax² + bx + c = 0, où a, b, et c sont des coefficients réels, et a est différent de zéro.
Discriminant
Le discriminant d'une équation du second degré est le nombre noté Δ (delta) et est calculé par la formule Δ = b² - 4ac. Il permet de déterminer le nombre de solutions de l'équation.
Solution
Une solution (ou racine) d'une équation est une valeur de x qui vérifie l'équation, c'est-à-dire rendant l'expression égale à zéro.
Discriminant et Nombre de Solutions
Pour résoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0, le discriminant, noté Δ et calculé avec la formule Δ = b² - 4ac, est utilisé pour déterminer la nature des solutions :
Système de détermination des solutions
1. Δ > 0 : Deux solutions réelles distinctes. En utilisant la formule de Shamir, les solutions sont x1 = (-b + √Δ) / (2a) et x2 = (-b - √Δ) / (2a).
2. Δ = 0 : Une solution réelle double (ou unique), appelée racine double. La solution est x = -b / (2a).
3. Δ < 0 : Aucune solution réelle. Les solutions sont complexes conjuguées, souvent non étudiés au lycée.
Forme canonique
La forme canonique d'une équation est une manière d'écrire une équation du second degré de manière à faciliter son étude (détermination des solutions et du sommet de la parabole associée). Elle s'écrit comme suit : a(x - h)² + k, où (h, k) sont les coordonnées du sommet de la parabole y = ax² + bx + c. On calcule h = -b/(2a) et k = c - (b²/4a).
Racines et Sommet de la Parabole
En identifiant les solutions ou le sommet de la parabole, on peut obtenir des informations clés :
Lien entre discriminant et sommet
En résumé, pour résoudre des équations du second degré, utilisez efficacement le discriminant et analysez la fonction associée. Le sommet de la parabole, obtenu par h = -b/(2a), est crucial. Quant au coefficient a, il détermine la concavité : si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut ; si a < 0, elle s'ouvre vers le bas.
A retenir :
Les équations du second degré ax² + bx + c = 0 sont fondamentales. Le discriminant Δ = b² - 4ac détermine la nature des solutions : deux solutions distinctes si Δ > 0, une solution double si Δ = 0, et pas de solution réelle si Δ < 0. La forme canonique et le sommet de la parabole renseignent sur le comportement de la fonction associée. Ces concepts forment un outil essentiel pour l'analyse et la résolution d'équations quadratiques.
