Définitions
Définition
Nombre rationnel
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. En d'autres termes, un nombre rationnel est toute fraction a/b où a et b sont des entiers et b ≠ 0.
Forme irréductible
Un nombre rationnel est dit sous sa forme irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont des entiers premiers entre eux, c'est-à-dire que leur plus grand commun diviseur (pgcd) est 1.
Décimale finie
Un nombre rationnel a une représentation décimale finie si, dans sa décomposition en fraction, le dénominateur n'a que 2 ou 5 comme facteurs premiers.
Décimale périodique
Un nombre rationnel a une représentation décimale infinie mais périodique lorsque, dans sa décomposition en fraction, le dénominateur contient des facteurs autres que 2 et 5.
Propriétés des nombres rationnels
Les nombres rationnels possèdent plusieurs propriétés intéressantes qui découlent de leur définition comme quotient d'entiers.
- **Fermeture** : Les nombres rationnels sont fermés pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division (sauf division par zéro). Autrement dit, la somme, la différence, le produit ou le quotient de deux nombres rationnels est toujours un nombre rationnel.
- **Densité** : Entre deux nombres rationnels, il existe toujours un autre nombre rationnel. Cela signifie que les nombres rationnels sont denses sur la droite des nombres réels.
- **Comparabilité** : Deux nombres rationnels peuvent toujours être comparés en considérant leur représentation fractionnaire commune. Il est possible de déterminer lequel est plus grand en comparant les produits croisés, ou par conversion en décimales.
- **Existence de zéro et de l'unité**: L'ensemble des nombres rationnels contient un élément neutre pour l'addition, le nombre 0, et un élément neutre pour la multiplication, le nombre 1.
Classes particulières de nombres rationnels
Parfois, les nombres rationnels revêtent des formes ou des propriétés spécifiques qui méritent d'être considérées séparément.
- **Nombres entiers** : Un nombre entier peut être considéré comme un nombre rationnel où le dénominateur est 1. En ce sens, tous les entiers sont des nombres rationnels.
- **Nombres fractionnaires** : Ce sont des nombres rationnels qui ne sont pas entiers, avec une fraction non triviale où le numérateur est différent du dénominateur.
- **Nombres décimaux** : Les nombres pouvant être exprimés sous forme de décimale finie ou décimale périodique. Leur développement décimal est déterminé par leur dénominateur.
Applications des nombres rationnels
Les nombres rationnels ont de nombreuses applications dans les mathématiques et au-delà.
- **Algèbre** : Ils sont souvent utilisés pour simplifier les expressions algébriques, résoudre des équations et modéliser des situations rationnelles.
- **Géométrie** : Les nombres rationnels servent souvent à décrire des coordonnées dans un plan ou un espace, notamment dans le contexte du système de coordonnées cartésiennes.
- **Économie et sciences sociales** : Les nombres rationnels servent de base aux calculs économiques et statistiques, puisque les données chiffrées et les statistiques sont souvent représentées sous forme de fractions ou de pourcentages.
- **Applications informatiques** : Dans les domaines de l'informatique et du calcul numérique, les fractions rationnelles sont couramment utilisées pour les algorithmes de calculs arithmétique précis et exacts.
A retenir :
Les nombres rationnels, définis comme le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul, forment une classe importante de nombres en mathématiques. Ils se distinguent par leurs propriétés, telles que la fermeture sous les opérations arithmétiques, la densité, et la comparabilité, et se divisent en classes comme les entiers et les nombres fractionnaires. Leur représentations décimales peuvent être soit finies soit périodiques. Les nombres rationnels trouvent de nombreuses applications, en particulier en algèbre, géométrie, économie, sciences sociales et informatique.
