Les vecteurs colinéaires

Dans ce cours, nous allons aborder le concept de colinéarité entre vecteurs. La colinéarité est une relation entre deux vecteurs qui indique qu'ils sont alignés sur la même droite ou qu'ils sont strictement parallèles. Nous commencerons par définir ce qu'est un vecteur, puis nous étudierons en détail les conditions de colinéarité.

Définition d'un vecteur

Un vecteur est une entité mathématique qui décrit une direction et une intensité. Il peut être représenté par une flèche dans un plan ou dans l'espace. Un vecteur est caractérisé par ses composantes, généralement notées (x, y, z) dans un repère tridimensionnel. Les composantes d'un vecteur représentent les variations de coordonnées dans chaque dimension.

Définition

Colinéarité entre vecteurs

Deux vecteurs non nuls sont dits colinéaires si et seulement si ils sont parallèles ou alignés sur la même droite. Autrement dit, si un vecteur est un multiple non nul de l'autre, alors ils sont colinéaires. Mathématiquement, si les vecteurs A et B sont colinéaires, cela se traduit par l'existence d'un scalaire k tel que B = kA. Il est important de noter que deux vecteurs nuls sont toujours colinéaires, car ils sont tous deux alignés sur toutes les droites.

Conditions de colinéarité

Pour vérifier la colinéarité entre deux vecteurs A et B, nous pouvons utiliser différentes méthodes :

Calculer les rapports de leurs composantes : si ces rapports sont tous égaux, alors les vecteurs sont colinéaires.
Vérifier si le déterminant formé par les coordonnées des vecteurs est nul :

| xA  yA  zA |

             | xB  yB  zB |

             | xC  yC  zC | est nul.

Exemple :

Prenons les vecteurs A(-2,4,0) et B(1,-2,0). Nous allons vérifier leur colinéarité.

Méthode 1 : Calcul des rapports de composantes

Le rapport des composantes x est -2/1 = -2. Le rapport des composantes y est 4/-2 = -2. Le rapport des composantes z est 0/0, ce qui n'est pas défini.

Nous constatons que les rapports ne sont pas tous égaux, donc les vecteurs A et B ne sont pas colinéaires selon cette méthode.

Méthode 2 : Calcul du déterminant

Le déterminant de la matrice | -2 4 0 | | 1 -2 0 | | 0 0 0 | est égal à 0.

Nous pouvons donc conclure que les vecteurs A et B sont colinéaires.

Résumé

Dans ce cours, nous avons appris que deux vecteurs sont colinéaires s'ils sont alignés sur la même droite ou s'ils sont parallèles. Nous avons également vu que deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un scalaire k tel que B = kA. Enfin, nous avons étudié les conditions de colinéarité en calculant les rapports de composantes et le déterminant formé par les coordonnées des vecteurs.

A retenir :

N'oubliez pas que la colinéarité entre vecteurs est un concept important en mathématiques et en physique, car elle permet de simplifier les calculs et d'analyser les relations entre des grandeurs vectorielles.