Définition
Fonction
Une fonction est une relation entre un ensemble d'entrée et un ensemble de sortie où chaque entrée est associée à une seule sortie.
Limite d'une fonction
La limite d'une fonction f(x) lorsque x tend vers a est la valeur que f(x) approche lorsque x se rapproche de a.
Limite finie
Une limite est dite finie si la valeur qu'elle atteint est un nombre réel.
Limite infinie
Une limite est infinie lorsque la valeur qu'elle atteint est infinie.
Fondamentaux des limites
La notion de limite est essentielle dans l'analyse mathématique. Elle permet de comprendre le comportement d'une fonction aux abords d'un point donné. Au-delà de son rôle fondamental en calcul différentiel et intégral, la limite est également employée dans l'étude des séries et des équations différentielles.
Calcul des limites
Limite finie
Pour déterminer une limite finie, on utilise souvent l'analyse directe lorsque la fonction est continue. D'autres techniques incluent le théorème de la limite sandwich (ou théorème des gendarmes) et la décomposition en éléments simples. Les limites de polynômes et de fonctions rationnelles se calculent fréquemment en simplifiant l'expression avant de substituer la valeur du point vers lequel x tend.
Limite infinie et limites en l'infini
Lorsqu'une fonction tend vers l'infini alors que x approche une certaine valeur, ou lorsque x tend vers l'infini, on parle de limite infinie. Ces limites sont typiquement associées à la présence d'asymptotes verticales ou horizontales. Pour reconnaître une limite infinie, il peut être utile d'examiner le comportement asymptotique de la fonction.
Limites et continuité
Une fonction est continue en un point si elle y est définie, sa limite en ce point existe, et la limite est égale à la valeur de la fonction en ce point. Les discontinuités peuvent être classifiées comme discontinuités amovibles, discontinuités par saut ou discontinuités infinies. Un des rôles cruciaux des limites est dans l'étude de ces discontinuités.
Techniques avancées de calcul de limites
Dans des situations plus complexes, on peut utiliser la règle de l'Hospital pour évaluer certaines limites indéterminées. Cette méthode consiste à calculer les dérivées du numérateur et du dénominateur de la fonction à évaluer. L'extension des limites à des fonctions définies de manière implicite ou paramétrique représente un autre sujet avancé.
Applications des limites
Les limites sont également employées pour définir la dérivée d'une fonction. La dérivée se comprend comme la limite du taux de variation de la fonction alors que l'intervalle de variation tend vers zéro. Par ailleurs, les intégrales définies représentent une limite de sommes, connues sous le terme 'somme de Riemann'.
A retenir :
Les limites de fonctions sont un concept clé de l'analyse mathématique permettant d'appréhender comment une fonction se comporte à proximité d'un point donné. De la continuité à l'infini, en passant par les techniques de calcul et les applications pratiques, elles sont essentielles pour la compréhension des fondements du calcul intégral et différentiel.
