Définition
Nombres relatifs
Les nombres relatifs sont l'ensemble des nombres entiers positifs et négatifs, y compris zéro. Ils permettent de représenter des quantités en tenant compte de leur direction.
Nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n'a aucun diviseur positif autre que 1 et lui-même.
Opérations sur les nombres relatifs
Addition et soustraction
L'addition et la soustraction des nombres relatifs reposent sur des règles simples. Pour additionner deux nombres relatifs, il faut tenir compte de leurs signes. Par exemple, l'addition de deux nombres positifs ou deux nombres négatifs se réalise en additionnant leurs valeurs absolues et en conservant le signe commun. Lorsqu'ils ont des signes différents, il faut soustraire la valeur absolue la plus petite de la plus grande, en prenant le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue.
Multiplication et division
La multiplication et la division des nombres relatifs suivent la règle des signes : un produit ou un quotient est positif si les deux nombres ont le même signe, et négatif s'ils ont des signes contraires. Le calcul numérique est ensuite effectué avec les valeurs absolues. Par exemple, (-3) x (-2) = 6 et 9 / (-3) = -3.
Propriétés des nombres premiers
Divisibilité
Un nombre est premier s'il n'est divisible que par 1 et lui-même. Cela signifie que si vous essayez de diviser un nombre premier par tous les entiers inférieurs à sa valeur, seuls 1 et lui-même donneront un quotient entier. Par exemple, 7 est un nombre premier car les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7.
Cacul des nombres premiers
La recherche des nombres premiers peut se faire via l'algorithme de la méthode d'Ératosthène, qui est une technique ancienne et efficace pour lister tous les nombres premiers jusqu'à un certain nombre donné. Cette méthode fonctionne en éliminant progressivement les multiples de chaque nombre premier trouvé, à partir de 2.
Application et importance
Les nombres premiers jouent un rôle vital dans plusieurs domaines des mathématiques, y compris la théorie des nombres et la cryptographie moderne. Leur originalité réside dans le fait qu’ils sont les « blocs de construction » des entiers puisque tout nombre entier supérieur à 1 peut être décomposé en un produit unique de nombres premiers.
A retenir :
Les nombres relatifs englobent toutes les valeurs entières, offrant ainsi un cadre pour travailler avec les entiers négatifs et positifs dans des opérations classiques d'arithmétique. En revanche, les nombres premiers sont distincts parce qu'ils ne sont divisibles que par eux-mêmes et par l'unité, et ils jouent un rôle essentiel dans la structure des entiers et dans d'autres domaines mathématiques avancés tels que la cryptographie.
Problématiques
Comment savoir si un nombre est premiers?
Autrement dit, un nombre premier ne peut être divisé de manière entière que par 1 et par lui-même. Par exemple, les nombres 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont tous des nombres premiers, car ils ne peuvent être divisés sans reste que par 1 et par eux-mêmes.
