Définition
Inéquation
Une inéquation est une inégalité qui contient une ou plusieurs variables, et dont on cherche à trouver l’ensemble des solutions qui vérifient cette inégalité.
Ensemble de solutions
L'ensemble de solutions d'une inéquation est l'ensemble des valeurs qui peuvent être substituées aux variables afin de rendre l'inéquation vraie.
Propriétés des inégalités
Les inégalités en mathématiques possèdent des propriétés similaires à celles des égalités, mais avec certaines différences importantes.
1. Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c pour tout nombre c. Cela signifie que l'on peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés d'une inégalité.
2. Si a ≤ b, alors a - c ≤ b - c montre que la soustraction du même nombre des deux côtés conserve l'inégalité.
3. Multiplier ou diviser les deux côtés d'une inégalité par un nombre positif ne change pas le sens de l'inégalité. Cependant, si on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité.
Résolution d'une inéquation du premier degré
Pour résoudre une inéquation du premier degré, on applique les propriétés des inégalités pour isoler la variable sur un côté de l'inégalité.
Prenons par exemple l'inéquation 2x - 5 < 3.
1. Première étape : Ajouter 5 aux deux membres pour isoler le terme avec l'inconnue : 2x - 5 + 5 < 3 + 5, ce qui donne 2x < 8.
2. Deuxième étape : Diviser par 2 pour isoler x, ce qui ne change pas le sens de l'inégalité (car le diviseur est positif) : x < 4.
La solution est donc l'ensemble des nombres réels x tels que x < 4.
Inéquations produit et quotient
Une inéquation produit est une inéquation qui prend la forme (x - a)(x - b) > 0. Pour résoudre ce type d'inéquation, on commence par identifier les valeurs qui annulent chaque facteur, ici x = a et x = b.
Pour déterminer le signe du produit, on étudie les intervalles délimités par ces valeurs annulantes.
- Dans l'intervalle x < a, les deux facteurs (x - a) et (x - b) sont négatifs, donc leur produit est positif.
- Dans l'intervalle a < x < b, (x - a) est positif et (x - b) est négatif, donc leur produit est négatif.
- Pour x > b, les deux facteurs sont positifs, donc le produit est positif.
La solution de l'inéquation sera alors les intervalles où le produit est positif.
Systèmes d'inéquations
Résoudre un système d'inéquations consiste à trouver l'intersection des ensembles de solutions de chaque inéquation du système. Cela signifie rechercher les valeurs qui satisfont simultanément toutes les inéquations.
Prenons exemple un système :
1. x - 3 > 0 (d’où x > 3)
2. x + 2 ≤ 5 (ce qui donne x ≤ 3)
En analysant ces deux inéquations, on recherche les ${x \text{ vérifiant simultanément } x > 3 \text{ et } x ≤ 3}$. Évidemment, il n'existe aucune valeur de x qui satisfait les deux conditions : le système est dit impossible.
A retenir :
La résolution algébrique des inéquations passe par une manipulation rigoureuse des termes de l'inégalité tout en respectant les propriétés des inégalités. Les inéquations peuvent être simples, polynomiales ou systémiques, et leur résolution nécessite souvent de travailler avec des intervalles. L'étude du signe des produits et quotients est essentielle, tout comme l'analyse des solutions d'un système d'inéquations qui exigent de trouver une intersection des ensembles de solutions. Chacune des étapes demande une attention particulière afin de ne pas compromettre le sens et la validité de l'inéquation.
