Définition
Équation
Une équation est une égalité mathématique qui contient une ou plusieurs variables. La résolution d'une équation consiste à déterminer toutes les valeurs de la ou des variables qui rendent l'égalité vraie.
Inéquation
Une inéquation est une inégalité mathématique qui contient une ou plusieurs variables. La résolution d'une inéquation consiste à trouver toutes les valeurs de la ou des variables qui rendent l'inégalité vraie.
Membre
Un membre d'une équation ou inéquation est l'une des deux parties de l'expression séparées par le signe d'égalité ou d'inégalité.
Solution
Une solution d'une équation ou inéquation est une valeur de la variable qui vérifie l'égalité ou l'inégalité.
Résolution des équations
Équations du premier degré à une inconnue
Les équations du premier degré à une inconnue ont la forme ax + b = 0, où a et b sont des réels, et x est la variable à déterminer. La solution s'obtient facilement en isolant x :
1. Soustraire b des deux côtés de l'équation : ax = -b
2. Diviser chaque membre par a (si a ≠ 0) : x = -b/a.
Équations du second degré à une inconnue
Les équations du second degré à une inconnue peuvent s'écrire sous la forme ax^2 + bx + c = 0. Elles peuvent être résolues à l'aide de la formule quadratique :
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), où Δ = b² - 4ac est le discriminant de l'équation. Selon la valeur de Δ, on distingue trois cas:
- Si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles distinctes.
- Si Δ = 0, l'équation a une solution réelle double.
- Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.
Résolution des inéquations
Inéquations du premier degré à une inconnue
Les inéquations du premier degré à une inconnue se résolvent en suivant des étapes similaires à celles des équations, en conservant cependant le sens de l'inégalité. Par exemple, ax + b < c se résout ainsi :
1. Soustraire b des deux côtés: ax < c - b
2. Diviser chaque membre par a (en inversant le sens de l'inéquation si a < 0): x < (c - b)/a.
Inéquations du second degré à une inconnue
Les inéquations du second degré à une inconnue peuvent être résolues en analysant le signe du trinôme. Il s'agit de déterminer les valeurs de x pour lesquelles ax² + bx + c > 0 (ou < 0). Ce processus implique souvent les étapes suivantes :
1. Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac.
2. Déterminer les racines de l'équation quadratique associée si Δ ≥ 0.
3. Étudier le signe de l'expression ax² + bx + c selon les intervalles définis par ces racines.
A retenir :
En conclusion, la résolution algébrique des équations et inéquations implique la manipulation d'expressions mathématiques afin de trouver les valeurs des variables qui satisfont des conditions données. Il est essentiel de maîtriser les étapes de résolution des différents types d'équations et d'inéquations pour aborder les problématiques plus complexes en mathématiques.
