Définition
Fonction circulaire
Les fonctions circulaires, également appelées fonctions trigonométriques, comprennent principalement le sinus, le cosinus et la tangente. Elles relient les angles d’un triangle rectangle avec des rapports de ses côtés.
Sinus
Pour un angle θ dans un triangle rectangle, le sinus de θ est le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle θ à la longueur de l'hypoténuse.
Cosinus
Pour un angle θ dans un triangle rectangle, le cosinus de θ est le rapport de la longueur du côté adjacent à l'angle θ à la longueur de l'hypoténuse.
Tangente
Pour un angle θ dans un triangle rectangle, la tangente de θ est le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle θ à la longueur du côté adjacent.
Valeurs des fonctions sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus prennent des valeurs comprises entre -1 et 1. Pour les angles communs, comme 0°, 30°, 45°, 60° et 90°, leurs valeurs spécifiques doivent être retenues. Par exemple, pour l'angle de 30°: sin(30°) = 1/2 et cos(30°) = √3/2. À 45°, sin(45°) = cos(45°) = √2/2. Ces valeurs sont cruciales dans la résolution d'équations trigonométriques.
Valeurs de la tangente
La fonction tangente, contrairement au sinus et au cosinus, peut prendre toutes les valeurs réelles. Pour les angles particuliers, la tangente de 0° est 0, la tangente de 45° est 1, et la tangente n'est pas définie à 90° car elle tend vers l'infini. La périodicité de la tangente est de 180°, ce qui signifie que tan(θ + 180°) = tan(θ).
Applications des fonctions circulaires
Les fonctions circulaires sont utilisées pour modéliser les phénomènes périodiques tels que les ondes sonores, les marées ou encore le courant électrique alternatif. En géométrie, elles permettent de résoudre des problèmes d’angles et de distances dans les triangles, notamment dans les cas où le théorème de Pythagore ne peut être appliqué directement. De plus, elles sont essentielles en analyse pour définir les concepts de séries et d'intégrales.
Calcul des valeurs exactes
Afin de calculer les valeurs exactes des fonctions circulaires pour des angles courants, il est possible de se référer au cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique est un outil précieux qui permet non seulement de visualiser mais aussi de trouver intuitivement les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente à partir de la position d'un angle dans le plan. Par exemple, un angle de 180° sur le cercle trigonométrique correspond à un point (-1, 0), d'où sin(180°) = 0 et cos(180°) = -1.
A retenir :
Les valeurs des fonctions circulaires—sinus, cosinus et tangente—sont fondamentales pour les étudiants de Terminale car elles servent à comprendre et résoudre des problèmes de trigonométrie. Les angles communs ont des valeurs précises et ces fonctions décrivent des comportements périodiques. Comprendre ces concepts est essentiel pour toute étude ultérieure en mathématiques et en sciences où des phénomènes oscillatoires sont présents.
