Les fonctions paire et impaire
Les fonctions paire et impaire sont des concepts utilisés en mathématiques pour caractériser certains types de fonctions. Une fonction est dite paire si elle vérifie la propriété suivante :
Définition
Définition d'une fonction paire
Une fonction f(x) est dite paire si, pour tout x dans son domaine de définition, f(-x) = f(x). En d'autres termes, une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Par exemple, la fonction cosinus (cos(x)) est une fonction paire car cos(-x) = cos(x) pour tout x dans son domaine de définition.
Les fonctions paires présentent plusieurs propriétés intéressantes :
- Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- L'intégrale de -a à a d'une fonction paire est égale au double de l'intégrale de 0 à a.
Maintenant, parlons des fonctions impaires.
Définition
Définition d'une fonction impaire
Une fonction f(x) est dite impaire si, pour tout x dans son domaine de définition, f(-x) = -f(x). En d'autres termes, une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
Par exemple, la fonction sinus (sin(x)) est une fonction impaire car sin(-x) = -sin(x) pour tout x dans son domaine de définition.
Les fonctions impaires présentent également des propriétés intéressantes :
- Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.
- L'intégrale de -a à a d'une fonction impaire est toujours nulle.
Fonctions de référence
Les fonctions paire et impaire peuvent être utilisées pour décrire différentes fonctions de référence qui apparaissent fréquemment en mathématiques. Voici quelques exemples :
Définition
Fonction constante
Une fonction constante f(x) = c, où c est une constante réelle, est une fonction paire car f(-x) = f(x) pour tout x dans son domaine de définition.
Fonction identité
La fonction identité f(x) = x est à la fois paire et impaire car f(-x) = f(x) et -f(x) = -x pour tout x dans son domaine de définition.
Fonction parabole
La fonction f(x) = x^2 est une fonction paire car f(-x) = f(x) pour tout x dans son domaine de définition.
A retenir :
En résumé, une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, tandis qu'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine. Les fonctions paire et impaire ont des propriétés spécifiques et peuvent être utilisées pour décrire différentes fonctions de référence.
