Une fonction polynôme de degré 2 peut être représentée graphiquement par une parabole dans un repère orthonormé. Cette parabole est dirigée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Le coefficient 'a' influence l'ouverture de la parabole : plus |a| est grand, plus la parabole est étroite. Le terme en 'bx' détermine l'inclinaison de la parabole par rapport à l'axe des ordonnées, tandis que 'c' est l'ordonnée à l'origine de la parabole.

Pour représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2, il est courant de convertir la forme standard ax² + bx + c en sa forme canonique a(x - α)² + β. Ceci permet de facilement identifier les coordonnées du sommet de la parabole et de tracer son axe de symétrie, qui est la droite x = α.

Le calcul des racines d'une fonction polynôme de degré 2, donnée par l'équation ax² + bx + c = 0, repose sur l'étude du discriminant Δ = b² - 4ac. - Si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles et distinctes données par x₁ = (-b + √Δ)/(2a) et x₂ = (-b - √Δ)/(2a). - Si Δ = 0, l'équation a une solution réelle double donnée par x = -b/(2a). - Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle (les solutions sont complexes et hors du programme de première).

Le sommet de la parabole est un point crucial car il représente soit le minimum soit le maximum de la fonction, selon le signe de 'a'. On peut calculer les coordonnées du sommet (α, β) à partir de la forme standard - La coordonnée α est obtenue par la formule α = -b/(2a). - La coordonnée β est le résultat de la fonction pour x = α, donc β = f(α) = aα² + bα + c. Ce calcul permet de transformer la forme standard en forme canonique et ainsi de tracer avec précision la parabole.

Les fonctions polynômes de degré 2 apparaissent couramment dans différentes branches des mathématiques et des sciences appliquées. Elles modélisent des phénomènes physiques tels que la trajectoire des objets en mouvement sous l'influence de la gravité (en l'absence de résistance de l'air), aussi connue sous le terme de mouvement parabolique, et sont donc essentielles pour l’étude des ballistiques. En économie, elles peuvent être utilisées pour étudier les fonctions de coût ou de profit qui suivent une tendance quadratique. Le minimum ou maximum de la parabole peut indiquer, respectivement, le coût minimum d'une production ou le profit maximum réalisable, selon le contexte. La résolution de problèmes réels nécessite souvent l'optimisation et les fonctions polynômes de degré 2 sont fondamentales pour trouver des solutions dans un contexte quadratique.