Définition
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction mathématique de la forme f(x) = ax + b où a et b sont des constantes réelles et x est une variable.
Coefficient directeur
Dans une fonction affine de la forme f(x) = ax + b, a est le coefficient directeur, représentant la pente de la droite.
Ordonnée à l'origine
Dans une fonction affine de la forme f(x) = ax + b, b est l'ordonnée à l'origine, représentant le point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
Représentation graphique
Une fonction affine est représentée graphiquement par une droite dans le plan cartésien. Cette droite a pour équation y = ax + b. Le coefficient directeur a détermine l'inclinaison de la droite :
- Si a > 0, la droite monte (est croissante).
- Si a < 0, la droite descend (est décroissante).
- Si a = 0, la droite est horizontale (constante).
L'ordonnée à l'origine b indique où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
Calcul du coefficient directeur
Le coefficient directeur de la droite reliant deux points (x1, y1) et (x2, y2) peut être calculé par la formule :
\[ a = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \]
Cette formule dérive de la définition de la pente comme étant le rapport de la variation des ordonnées sur la variation des abscisses entre deux points donnés.
Méthodes de résolution
Détermination de l'équation d'une droite
Pour déterminer l'équation d'une droite, on a souvent besoin de connaître au moins le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b. Si la droite passe par deux points donnés, il faut calculer le coefficient directeur a à partir de ces points, puis utiliser l'un des points pour résoudre pour b.
Exemples
1. Soit la droite passant par les points (1, 2) et (3, 4). Trouvons l'équation de la droite.
- Coefficient directeur : \( a = \frac{4 - 2}{3 - 1} = 1 \)
- En utilisant le point (1, 2), substituons dans y = ax + b :
- \( 2 = 1 \times 1 + b \)
- b = 1
- Équation de la droite : \( y = x + 1 \)
A retenir :
Les fonctions affines sont représentées graphiquement par des droites. Ces fonctions peuvent être définies par leur coefficient directeur, qui indique l'inclinaison de la droite, et leur ordonnée à l'origine, qui indique où la droite coupe l'axe vertical. Le coefficient directeur se calcule souvent à partir de deux points sur la droite. Résoudre les équations des droites permet de comprendre et d'appliquer ces concepts pour la représentation précise de relations linéaires.
