Définition
Vecteur
Un vecteur est un objet mathématique qui possède à la fois une magnitude (ou norme) et une direction. En termes simples, il peut être représenté comme une flèche dans l'espace.
Norme d'un vecteur
La norme d'un vecteur est une mesure de sa longueur. Pour un vecteur \( \vec{v} = (x, y) \) dans le plan, sa norme est \( \|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \).
Vecteurs égaux
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction et la même norme, indépendamment de leur position sur le plan.
Composantes d'un vecteur
Les composantes d'un vecteur sont les coordonnées qui définissent sa direction et sa longueur dans l'espace. Par exemple, en deux dimensions, un vecteur \( \vec{v} \) peut être écrit sous la forme \( \vec{v} = (x, y) \).
Représentation des Vecteurs
Les vecteurs sont représentés graphiquement par des flèches. La longueur de la flèche correspond à la norme du vecteur, et l'orientation de la flèche indique la direction du vecteur. En 2D, un vecteur partant de l'origine et pointant vers le point (x, y) est noté \( \vec{v} = (x, y) \).
Pour représenter un vecteur dans un espace tridimensionnel, on utilise trois composantes: \( \vec{v} = (x, y, z) \). Les vecteurs peuvent également être déplacés parallèlement à eux-mêmes dans l'espace sans en changer leurs propriétés.
Opérations sur les Vecteurs
Addition de Vecteurs
L'addition de vecteurs est une opération fondamentale qui suit la règle du parallélogramme. Si l'on a deux vecteurs \( \vec{u} = (u_1, u_2) \) et \( \vec{v} = (v_1, v_2) \), leur somme est \( \vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) \).
Graphiquement, pour additionner deux vecteurs, on place la queue du deuxième vecteur à la tête du premier vecteur. Le vecteur résultant va de la queue du premier vecteur à la tête du deuxième.
Multiplication d'un Vecteur par un Scalaire
Multiplier un vecteur par un scalaire consiste à augmenter ou diminuer sa longueur tout en conservant sa direction. Si \( k \) est un scalaire et \( \vec{v} = (x, y) \) un vecteur, alors \( k\vec{v} = (kx, ky) \).
Si \( k > 1 \), le vecteur est étiré; si \( 0 < k < 1 \), il est contracté; si \( k < 0 \), le vecteur change de direction.
Produit Scalaire
Le produit scalaire (ou dot product) de deux vecteurs \( \vec{u} = (u_1, u_2) \) et \( \vec{v} = (v_1, v_2) \) est une opération qui associe à ces deux vecteurs un scalaire. Il est calculé par la formule: \( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 \). En termes géométriques, il est égal au produit des normes des vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux.
Un produit scalaire égal à zéro indique que les deux vecteurs sont orthogonaux (perpendiculaires).
Application des Vecteurs en Physique
Les vecteurs sont largement utilisés en physique, notamment pour représenter des grandeurs telles que la force, la vitesse, et l'accélération. Par exemple, la force exercée sur un objet peut être représentée par un vecteur dont la taille indique la magnitude de la force et dont l'orientation indique la direction dans laquelle cette force est appliquée.
Dans l'étude des mouvements, la vitesse d'un objet est décrite par un vecteur vitesse, qui combine à la fois la rapidité de l'objet et sa direction de déplacement.
Les vecteurs sont également essentiels dans la description des champs vectoriels, comme le champ magnétique ou le champ électrique.
A retenir :
Les vecteurs sont des outils mathématiques essentiels qui combinent magnitude et direction, représentés sous forme de flèches dans l'espace. Ils sont manipulés via des opérations telles que l'addition, la multiplication par un scalaire, et le produit scalaire. En physique, ils servent à décrire quantitativement et qualitativement des phénomènes comme le mouvement et les forces. La compréhension des vecteurs permet de modéliser, analyser et résoudre divers problèmes en mathématiques et en sciences.
